கணிதத் தர்க்கங்களின் கவிதாயினி - எம்மி நூர்த்தெர்

கணிதம் தர்க்கங்களினால் யாக்கப்பட்ட கவிதை என்றால் அதன் முதன்மை கவிதாயினி எம்மி நூர்த்தெர்-ஆகத்தான் இருக்கமுடியும். நூர்த்தெர் ஒரு முறை, “ஒருவர் முதலில் a ≤ b என்றும் பின்னர் b ≤ a என்றும் காட்டி a, b எனும் இரண்டு எண்களின் சமத்துவத்தை நிரூபித்தால், அவர் அவற்றின் சமத்துவத்தை நிரூபித்திருக்கவில்லை; உண்மையில் சமத்துவம் என்பதற்கான ஒரு வரையறையை வழங்கியுள்ளார்” என்று சொன்னார். இது அவருடைய கறாரான தர்க்க அடித்தளத்தையும் அதன் மேல் அவர் எழுப்பும் கணிதத்தின் கச்சிதம் சுட்டும் உன்னத அழகியலையும் அற்புதமாகப் பிரதிபலிக்கிறது.

தன் இரங்கல் கடிதத்தில் ஆல்பர்ட் ஐன்ஸ்டைன் அவரை ‘வரலாற்றின் மிக முக்கியமான கணிதப் பெண் படைப்பாளி’ என்று சொன்னார். ‘பெண்’ முன்னடையை அவர் சேர்த்திருப்பது ஐன்ஸ்டைன் வாழ்ந்த காலத்தின் போக்கைத்தான் சுட்டுகிறதேயொழிய நோர்த்தெரைப் பிற ஆண் கணிதர்களைவிடக் குறைந்தவர் என்று அறுதியிடவில்லை. இயற்கையின் சமச்சீர்மைக்கும் அவற்றின் வெளிப்பாடான இயற்பியல் அழிவின்மைக் கோட்பாடுகளுக்கும் இடையே உள்ள அழகான, தீர்க்கமான பிணைப்பை அவர் கண்டுபிடித்தார். இப்பொழுது “நூர்த்தெரின் தேற்றம்” (Noether’s theorem) என்று அறியப்படும் இந்தப் பிணைப்பு, ஐன்ஸ்டைனின் பொதுமைச் சார்நிலைக் கோட்பாட்டின் புரிதலில் இருந்த சிக்கலை விடுவிக்கவும், ஈர்ப்பு, மின்காந்த, மெல்லியக்க, வல்லியக்க விசைகளை ஒன்றிணைத்துப் புரிந்துகொள்ளும் முயற்சியான தகுதர ஒப்புரு (Standard Model)-வின் அடிநாதமாகவும், கடவுளின் துகள் என்று அழைக்கப்படும் ஹிக்ஸ் போஸானைச் சோதனை ரீதியாகக் கண்டுபிடுக்கவும், குவாண்டம் கணினிகளின் தன்மையை வரையறுக்கவும் உதவுகிறது. மிக முக்கியமான அந்தத் தேற்றத்தைத் தவிர நோர்த்தரின் பங்களிப்புகள் ‘நுண் இயற்கணிதம்’ (Abstract Algebra) என்ற ஒரு புதிய கணிதத்துறையையே வளர்த்தெடுத்தது. ஆனாலும் எம்மி நூர்த்தெரின் பெயரைச் சராசரி இயற்பியலாளரோ, கணிதர்களோ அடிக்கடி உச்சரிப்பதில்லை, ஏன் கேள்விப்பட்டிருப்பார்களா என்பதே சந்தேகமானதே! தான் வாழ்ந்த காலத்தில் தகுதிக்கு ஏற்றபடி அவர் அடைந்திருக்க வேண்டிய அங்கீகாரத்தைப் பெறவில்லை. ஒரு நூற்றாண்டுக்குப் பிறகு, இப்பொழுது அவரது பங்களிப்புகள் கவனம் பெறுவது சற்றே ஆசுவாசமளிக்கக் கூடியது.

அமெலி எம்மி நூர்த்தெர் (Amalie Emmy Noether) 1882-ல் அன்றைய ஜெர்மன் இராச்சியத்தின் பவேரியா மாநிலத்தில் இருந்த எர்லாங்கென் (Erlangen) என்ற ஊரில் பிறந்தார். நூர்த்தெர் (Noether) என்ற அவருடைய குடும்பப் பெயர் ஜெர்மானியத்தில் நூர்-த்தெர் என்று உச்சரிக்கப்படும். இதில் இரண்டு ‘ர்’ ஒற்றுக்களும் மிக மெலிதாகவே உச்சரிக்கப்படும் (கிட்டத்தட்ட நூ-த்தெ என). இவருடைய தந்தை மேக்ஸ் நூர்த்தெர் எர்லாங்கென் பல்கலைக்கழகத்தின் கணிதப் பேராசிரியர். இவரும் ஒரு முதன்மை கணிதர்; இயல் வடிவகணிதம் (algebraic geometry), இயற்சார்புகள் (Algebraic functions) போன்ற துறைகளில் முக்கிய பங்களிப்புகளை ஆற்றியிருக்கிறார். எம்மிக்கு நான்கு தம்பிகள், முதலாமவர் ஆல்ஃப்ரெட் வேதியியல் பயின்றார், மிக இளவயதிலேயே மரணித்தார். அடுத்தவர் ஃப்ரீட்ஸ்-ம் கணிதப் பேராசிரியாரானார். இளைய சகோதரர் குஸ்தாவ் சிறுவயதிலிருந்தே நோய்வாய்ப்பட்டிருந்தவர், நாற்பது வயதை நெருங்கும்பொழுது இறந்தார். சிறுவயதில் எல்லா ஜெர்மானிய சிறுமிகளுக்கும் வகுக்கப்பட்டிருந்ததைப் போலவே எம்மியும் பியானோ இசையையும், நடனத்தையும், மொழிக் கல்வியையும் சமையலையும் கற்றார். சராசரி கணிப்பில் எம்மி நூர்த்தெர் அழகி இல்லை. அவருக்குக் கிட்டப்பார்வை குறை இருந்தது, அதற்காகக் கண்ணாடி அணிய வேண்டியிருந்தது. கொஞ்சம் திக்குவாய் குறைபாடும் இருந்தது. எனவே கணிதப் பேராசிரியரைத் தேடி வீட்டுக்கு வரும் எர்லாங்கெனின் இளைஞர்களுக்கு எம்மி மீது ஆர்வம் இல்லை. கூடவே எம்மி அந்தக் கணித அலசல்களில் அவர்களை விஞ்சிய திறமையைக் காட்டியது ஆண்களை அவரிடம் நெருங்கவிடாமல் செய்தது.

ஆனால் இவற்றால் எம்மிக்குச் சற்றும் தளர்வில்லை. பேராசிரியரான அப்பா, அவருடன் கணிதம் குறித்து விவாதிக்க வீட்டுக்கு வரும் பிற ஆசிரியர்கள், மாணவர்கள், வேதியியல், கணிதத்தில் ஆர்வமுள்ள சகோதரர்கள் என்ற சூழலில் வளர்ந்த எம்மிக்கு கணிதப் புதிர்களை விடுவிப்பதில் அசாத்தியத் திறமை வளர்ந்தது. பள்ளிப் படிப்பை முடித்தபிறகு பிரெஞ்சு மொழி ஆசிரியர் பயிற்சியையும் பெற்றார். மொழி ஆசிரியை வேலை ஜெர்மானிய சமூகத்தில் பெண்களுக்கு அனுமதிக்கப்பட்டிருந்தது. அவர் ஆர்வம் என்னவோ முழுதும் கணிதத்தின் மீதுதான் இருந்தது. அந்தக் காலங்களில் பெண்களுக்குப் பல்கலைக்கழகத்தில் அனுமதியில்லை. ஆனாலும் பேராசிரியரான தன் தந்தையின் உதவியுடன் கணித வகுப்புகளில் ‘சும்மா கவனிப்பதற்கான’ அனுமதியைப் பெற்றார். அதாவது, வகுப்பில் உட்கார்ந்து பாடம் கேட்கலாம், ஆனால் தேர்வெழுதிச் சான்றிதழோ பட்டமோ பெறமுடியாது. ஆசிரியர்களிடம் அதிகம் கேள்வி கேட்டு தொந்தரவு செய்யக்கூடாது, அந்த உரிமை ஆண்களுக்கு மாத்திரம்தான். அதீத திறமை கொண்ட எம்மி, அங்கே அவருடன் இருந்த ஆண் மாணவர்களுக்குப் பாடங்களை விளக்கினார், கேள்விகளுக்கு விடையளிக்க உதவினார்.

தொடர்ந்து கோட்டிங்கன் பல்கலைக் கழத்தில் (University of Göttingen) பாடம் கற்க விரும்பினார். அந்தக் காலங்களில் கோட்டிங்கன் கணிதத்தில் உலகத் தலைநகராக இருந்தது என்று சொல்வது மிகையில்லை. மிகப் புகழ்பெற்ற ஃபீலிக்ஸ் க்ளெய்ன் (Felix Klein) தலைவராக இருந்த கணிதத் துறையில் டேவிட் ஹில்பெர்ட் (David Hilbert) ஒரு மாபெரும் சூப்பர் ஸ்டார் என்று பெயரெடுத்தவர். க்ளெய்னும் ஹில்பெர்ட்டும் எம்மி நோர்த்தெரின் அற்புதத் திறமையை அங்கீகரித்தார்கள். அவரை முறையாகப் பட்டம் பெற வகுப்பில் அனுமதிக்க வேண்டும் என்று அரசாங்கத்திற்கு விண்ணப்பித்தார்கள். கணித, அறிவியல் துறை பேராசிரியர்கள் முற்போக்குச் சிந்தை கொண்டவர்களாக இருந்தார்கள்; அவர்கள் பெண்கள் கல்வி கற்பதை ஆதரித்தார்கள். ஆனால், பழமையில் ஊறிப்போன தத்துவம், மொழியியல், இறையியல் பேராசிரியர்கள் அதைக் கடுமையாக எதிர்த்தார்கள். இறுதியில் எம்மி நூர்த்தெருக்கு அனுமதியில்லை. ஆறு மாதங்களுக்கு எம்மி கோட்டிங்கனில் கணிதப் பாடங்களைச் ‘சும்மா கவனித்தார்’.

1903-ஆம் ஆண்டு ஜெர்மானிய அரசு பெண்கள் உயர்கல்வி கற்பது குறித்த தன் அணுகுமுறையைத் தளர்த்த்தியது. அப்பொழுது எர்லாங்கன் திரும்பியிருந்த எம்மி, பால் கோர்டன் (Paul Gordan) என்ற முன்னனி கணிதரின் மேற்பார்வையில் பட்டப் படிப்பிற்காகச் சேர்ந்தார். 984 மாணவர்கள் படித்த எர்லாங்கனில் எம்மியைச் சேர்த்து இரண்டே மாணவிகளுக்குத்தான் அனுமதியளிக்கப்பட்டது. 1907-ஆம் ஆண்டு இயற்கணிதத்தில் ஆய்வுக்காக முனைவர் பட்டம் பெற்றார், அதில் உச்சபட்ச தகுதியான doctorate summa cum laude அங்கீகாரம் கிடைத்தது. அந்தக் காலங்களில் ஜெர்மனியில் (மற்றும் பிரான்ஸ், இத்தாலி உள்ளிட்ட சில ஐரோப்பிய நாடுகளில்) முனைவர் பட்டம் பெற்றவர்கள் தொடர்ந்து சில வருடங்கள் இன்னொரு அனுபவமிக்க பேராசிரியரின் மேற்பார்வையில் ஆராய்ச்சி, கற்பித்தல், பேருரையாற்றுதல் போன்ற உச்ச தகுதிகளை வளர்த்துக் கொள்ள வேண்டும். அதை உறுதி செய்து அவர்களுக்கு ’PD’ (Privatdozent) அல்லது ’Dr. habil.’ (Doctor habilitatus) பட்டம் வழங்கப்பட்ட பிறகுதான் அவர்கள் பல்கலைக் கழகங்களில் இணைப்பேராசிரியர் அல்லது பேராசிரியர் பணியில் சேரமுடியும். வழக்கம்போல இந்த உயர் தகுதிகள் பெண்களுக்கு சாத்தியமில்லை. தனக்குப் பேராசிரியை பதவிக்கான சாத்தியங்கள் நிச்சயம் இல்லை என்று எம்மிக்குத் தெரியும், ஆனாலும், கணிதம் கற்றுக்கொள்வதில் இருந்த அதீத ஆர்வத்தால் அவருடைய தந்தையின் ஊதியமில்லா உதவியாளராக ஏழு வருடங்கள் பணியாற்றினார்.

பால் கோர்டன் நிச்சயமாக நல்ல கணிதர்தான். ஆனாலும், எம்மி நூர்த்தருக்கு அவருடைய ‘கணக்குப் போடும் பாணி’ ஆய்வில் ஆர்வமில்லை. அவர் டேவிட் ஹில்பெர்ட்டைப் போல தத்துவார்த்த கணித முறைமையை விரும்பினார். எம்மியின் திறமையை நன்றாக அறிந்திருந்த ஹில்பெர்ட்டும் அவர் துறைத்தலைவர் க்ளெய்னும் அவரை கோட்டிங்கனுக்கு அழைத்தார்கள். அவருக்கு Privatdozent தகுதி அளிக்கப் பரிந்துரைத்தார்கள். அது கிடைத்தால் எம்மிக்கு சம்பளம் கொடுக்க முடியும்.

ஆனால் வழக்கம்போல் அதில் தோல்வியே மிஞ்சியது. ஒரு பெண்ணுக்கு பேராசிரியர் பதவி தருவதற்கு அறிவியல் துறையைச் சாராதவர்கள் பலத்த எதிர்ப்பு காட்டினார்கள். எரிச்சலுற்ற ஹில்பெர்ட் “ஒருவர் ஆணா, பெண்ணா என்ற விவாதம் அவருடைய தகுதியை மதிப்பிட உதவப்போவதில்லை, நாம் என்ன பல்கலைக்கழகமா அல்லது குளியல் துறையா? ” என்று குமுறினார். இந்த முற்போக்கு எண்ணங்களுக்கு இலக்கியம், தத்துவம் போதிக்கும், காலத்தால் உறைந்துபோன பெருசுகளிடமிருந்து பலத்த எதிர்வினை கிளம்பியது. உலக மகா கணிதர் ஹில்பெர்ட்டுக்கு மீண்டும் தோல்விதான். வழக்கம்போல் எம்மி ஊதியமில்லாமல் பணியாற்றினார். ஹில்பெர்ட்டின் வகுப்புகளை அவர் சார்பாக எம்மி நூர்த்தரே நடத்தினார்.

எம்மி நூர்த்தருக்கு வேலை மறுக்கப்பட்ட அதே சமயத்தில் அவர் வயதையொத்த இன்னொரு கணிதர் ஹெர்மான் வெய்ல்-க்குப் பேராசிரியர் பதவி கோட்டிங்கன் பல்கலைக்கழகத்தில் எளிதாகக் கிடைத்தது. தன்னுடன் எம்மியை ஒப்பிட்டு வெய்ல் “எம்மிக்குக் கிடைக்க வேண்டிய நாற்காலியில் நான் அமர்வது சரியில்லை. அவரைப்போன்ற அதி திறமை கொண்ட கணிதரின் இடத்தில் நான் இருப்பது எனக்கு உறுத்துகிறது” என்று வெளிப்படையாகச் சொன்னார். ஹெர்மான் க்ளௌஸ் வெய்ல் (Hermann Klaus Hugo Weyl) அப்படியொன்றும் சோடையானவர் அல்லர். இருபதாம் நூற்றாண்டின் இணையற்ற கணிதர்களுள் ஒருவராகப் பரவலாக அங்கீகாரம் பெற்றவர். இயற்கணிதம், வடிவ கணிதம், கணித இயற்பியல் உள்ளிட்ட பல துறைகளில் மிக முக்கிய அடிப்படை பங்களிப்புகளைத் தந்தவர் அவர். கணிதத்தின் தத்துவார்த்த அடிப்படைகள் குறித்த பல கருத்துருவாக்கங்களைத் தந்திருக்கிறார். இம்மானுவல் காண்ட்டின் தத்துவங்களால் கவரப்பட்ட வெய்ல் பின்னாட்களில் மார்ட்டின் ஹைடெக்கருடன் பல தத்துவ விவாதங்களைப் புரிந்திருக்கிறார். அப்படிப்பட்ட மாமேதை, எம்மி நூர்த்தெரைவிட நான் ஒன்றும் உயர்ந்தவனல்லன் என்று சொன்னது ஒருபுறம் அவரது உன்னத குணத்தைக் காட்டினாலும், எம்மியின் திறமையைக் குறித்த அவர் கணிப்பும் மிகச் சரியானதுதான்.

கோட்டிங்கனில் ஹில்பர்ட் சார்பாக அவருடைய மாணவர்களுக்குக் கற்பித்துக் கொண்டிருந்தபொழுது, எம்மி தனியாக தன் கணித ஆய்வுகளையும் முன்னெடுத்தார். குறிப்பாக கணிதத்தில் மாறாத்தன்மை (mathematical invariance) – பலவிதமாகக் கையாண்டாலும் மாறிலியாக இருத்தல் – குறித்த ஆய்வுகளை மேற்கொண்டார். உதாரணமாக, பூமி சூரியனை ஒரு நீள்வட்டப்பாதையில் சுற்றி வருகிறது. அதாவது சில இடங்களில் அது சூரியனுக்கு அருகிலும் பிற இடங்களில் தொலைவிலும் இருக்கும். ஆனாலும், இவற்றுக்கிடையேயான ஈர்ப்பு விசை எப்பொழுதும் மாறாமல் இருக்கும். இதுபோன்ற பண்புகளின்மீது எம்மிக்கு பேரார்வம் இருந்தது. 1915-ஆம் ஆண்டு ஐன்ஸ்டைன் அவருடைய பொதுமை சார்நிலைக் கோட்பாட்டை (general theory of relativity) வெளியிட்டார். அது இயற்பியல் உலகையே உலுக்கியது. காலம்-வெளி இடையேயான தொடர்புகள், பிரபஞ்சம் விரிவடைதல், கருந்துளைகள் என்ற பல அடிப்படைப் புரிதல்கள் அதன் அடிப்படையில் உருவாகின. பொதுமைச் சார்நிலையில் மாறாத்தன்மை, சமச்சீர்மை இவற்றின் இடம் என்ன என்று எம்மி நூர்த்தெர் ஆராயத் தொடங்கினார். அதன் அடிப்படையில் அவர் முன்வைத்த கண்டுபிடிப்புகள் ‘எம்மி நூர்த்தர் கோட்பாடு’ என்ற பெயரில் அறியப்படுகின்றன. இவற்றை ஒற்றை வரியில் சொன்னால் “சமச்சீர்மை அழிவின்மை (காப்பு) விதிகளைத் தருகின்றது” (Symmetries give rise to conservation laws). இதைக் கொஞ்சம் விரிவாகப் பார்க்கலாம்.

ஒரு சதுர அட்டையை 90-பாகை சுற்றினால் அது முன்னிருந்த அதே அமைப்பில் இருப்பதைக் காணமுடியும். ஆனால் 90°, 180°, 270° தவிர்த்த பிற கோணங்களில் சுழற்றினால் அதன் அமைப்பு மாறாகத்தான் இருக்கும். ஆரம்ப நிலையும் 90° சுழற்சியும் சமர்சீர்மை (symmetry) கொண்டிருக்கின்றன. இதேபோல ஒரு வளையலை (வட்டம்) சுற்றினால் அதுவும் முன்னிருந்த அதே வடிவில் இருப்பதைப் பார்க்கலாம். ஒரு வித்தியாசம், சதுரத்தை 90° சுற்றினால்தான் ஆரம்ப அமைப்பை ஒத்து வரும், மாறாக வளையலை எந்தக் கோண அளவிற்குச் சுற்றினாலும், அதற்குச் சமச்சீர்மை இருப்பதைக் காணலாம். சதுரம் தனித்த சமச்சீர்மையைக் (discrete symmetry) கொண்டிருக்கிறது, வட்டம் தொடர் சமச்சீர்மையைக் (continuous symmetry) கொண்டிருக்கிறது. நூர்த்தரின் ஆய்வுகள் தொடர் சமச்சீர்மை குறித்தவை.

விண்வெளியில் ஒரு பந்து இருப்பதாகக் கொள்ளாலாம். (விண்வெளியில் (புவி)ஈர்ப்பு விசை கிடையாது, காற்றினால் ஏற்படும் உராய்வு விசைகள் கிடையாது. இதுபோன்ற எளிமைப்படுத்தப்பட்ட அமைப்புகள் நமக்கு இயற்பியல் விளைவுகளைப் புரிந்துகொள்ள உதவியாக இருக்கின்றன.) அந்தப் பந்து ஒரு சுவற்றில் மோதினால் முதலில் எதிர்வினைவால் அது சற்று நசுங்கிப் பின் அது எதிர்த்திசையில் திரும்ப வரும். இனி அண்ட வெளியில் அந்த சுவற்றைச் சற்று தள்ளி வைத்து அதே அளவு விசையுடன் அதே பந்தை சுவற்றில் வீசினால் என்ன ஆகும்? வேறு வார்த்தைகளில் சொன்னால் இரு வேறு இடங்களில் பந்து எதிர்கொள்ளும் இயற்பியல் விதிகள் மாறுபடுமா? நிச்சயமாக அதன் வினை முதலில் நாம் பார்த்ததிலிருந்து எந்த விதத்திலும் மாறுபடாது. ஒரு மேசையின் மீது இருக்கும் பந்தை அதே மேசையின் மீது இடம் மாற்றி வைத்தால் அது வெடித்துச் சிதறுவதில்லை. காரணம் அதன் மீது செயல்படும் சக்திகளுக்கு எந்த மாற்றமும் இல்லை. இதற்கு இடப்பெயர்வு சமச்சீர்மை (translational symmetry) எனப் பெயர். அதாவது, இயற்பியல் விதிகள் வெளியில் இடமாற்றத்தால் மாறுபடுவதில்லை. இதே போல இந்த பந்து-சுவர் சோதனையை இன்றைக்குச் செய்தாலும், அடுத்த வாரம் செய்தாலும், பத்து வருடங்கள் கழித்துச் செய்தாலும் அதே மாதிரியாகத்தானே இருக்கும். இதற்குக் காலம்-சார் சமச்சீர்மை (temporal symmetry) என்று பெயர். காரணம் இயற்பியல் விதிகள் எல்லா காலங்களிலும் மாறுபடுவதில்லை. இறுதியாக, சுவற்றைச் சற்று சுற்றி வைத்து இந்தப் பந்து சோதனையை நடத்துவோம், அப்பொழுதும் விளைவுகள் ஒரே மாதிரியாகத்தான் இருக்கும்; இயற்பியல் விதிகள் குறிப்புச் சட்டகத்தின் (Frame of reference) சுழற்சியால் மாறுவதில்லை. (இந்த இடத்தில் அண்டவெளியில் ஈர்ப்பு விசை கிடையாது என்பதை நினைவுபடுத்துகிறேன்). இதற்குச் சுழற்சிச் சமச்சீர்மை (rotational symmetry) என்று பெயர். இங்கே நாம் சமச்சீர்மை என்று சொல்வது பந்தின் சமச்சீர்மை கிடையாது, அது சோதனை நடக்கும் வெளியில் சமச்சீர்மையைக் குறித்ததுதான். பந்திற்குப் பதிலாக ஒரு இட்டிலியைச் சுவற்றில் அடித்துச் சோதனை செய்தாலும், இயற்பியல் விதிகள் இடப்பெயர்வு, காலப்பெயர்வு, சுழற்சி இவற்றால் மாறுபடப் போவதில்லை.

நாம் உயர்நிலைப் பள்ளியில் “ஆற்றலை அழிக்கவோ ஆக்கவோ முடியாது” என்று மனப்பாடம் செய்திருப்போம். இதற்கு ஆற்றலின் அழிவின்மை விதி என்று பெயர். சமச்சீர்மைகள் நாம் இயற்பியலில் அறிந்த அழிவின்மை விதிகளைத் தருகின்றன என்று நூர்த்தெரின் தேற்றம் சொல்கிறது. ஒவ்வொரு சமச்சீர்மையும் ஒரு அழிவின்மை விதியைத் தருகின்றது. இடப்பெயர்வு சமச்சீர்மை நேர்கோட்டு உந்தத்தின் அழிவின்மைக் கோட்பாட்டைத் (conservation of linear momentum) தருகின்றது. காலம்சார் சமச்சீர்மை ஆற்றலின் அழிவின்மையத் (energy conservation) தருகின்றது. சுழற்சிச் சமச்சீர்மையிலிருந்து கோண உந்தத்தின் அழிவின்மையைப் (conservation of angular momentum) பெறமுடியும். இவை ஒவ்வொன்றையும் எம்மி நூர்த்தெர் துல்லிய கணித வரைவுகளாக நிரூபித்தார் (இதன் விபரங்களைப் புரிந்துகொள்ள உயர்கணிதம் மற்றும் இயற்பியல் அடிப்படைகள் தேவை). நாம் இதுவரை பார்த்தவை எல்லாமே கண்களால் காணக்கூடிய சோதனைகள். ஆனால் நூர்த்தெரின் சமச்சீர்மைகள் அணுக்களின் குவாண்டம் உலகிலும் செயற்படுகின்றன. அணுத்துகள் இயற்பியலில் (Particle Physics) தகுகுதர ஒப்புரு (Standard Model) என்ற கருத்துருவாக்கம் உண்டு. எம்மி நூர்த்தெரின் கண்டுபிடிப்புகளுக்கு முன்னர் இது துகள்களுக்கு இடையேயான அடிப்படை விசைகள் குறித்தவையாகத்தான் அறியப்பட்டது. ஆனால் நூர்த்தெர் கோட்பாடு துகள் உலகின் ஆழத்தில் இருக்கும் சீர்மைகள் எப்படி இந்த விசைகளைப் புரிந்துகொளள உதவுகின்றன என்று தெளிவுபடுத்தியது.

துகள்களின் சமச்சீர்மையைத் தகர்த்து அவற்றை இரண்டாகப் பிளக்கும்பொழுது புதிய இடைவினைகள் (interactions) ஏற்படுகின்றன. அவற்றை விளக்கப் புதிய துகள்கள் தேவைப்படுகின்றன. இப்படி மொழியப்பட்டதுதான் கடவுளின் துகள் என்று அறியப்படும் ஹிக்ஸ் போஸான் (Higgs Boson). நூர்த்தரின் கோட்பாட்டின் அடிப்படையில் ஹிக்ஸ் போஸானின் இருப்பைத் துல்லியமாக வரையறுக்க முடியும். ஆனால் சோதனை ரீதியாக ஹிக்ஸ் போஸானைக் கண்டுபிடிக்க நமக்கு அரை நூற்றாண்டுக்கும் மேலானது. 2012-ஆம் ஆண்டு சுவிட்சர்லாந்தின் செர்ன் ஆய்வகத்தில் ஹிக்ஸ் போஸான் அளந்தறியப்பட்டது.

இப்பொழுது துகள் இயற்பியலில் சமச்சீர்மையே புதிய கண்டுபிடிப்புகளை வழிநடத்தி வருகிறது. அடிப்படை விசைகளை ஒன்றிணைத்து உலகைப் புரிந்துகொள்ளுதல் இன்றைய இயற்பியலின் முக்கிய இலக்காக இருக்கிறது. ஈர்ப்பு, மின்காந்த, மெல்லியக்க, வல்லியக்க விசைகளை ஒன்றிணைத்தல் ஐன்ஸ்டைன் தொடங்கி இன்றுவரை இன்னும் கைவராத முயற்சியாகவே இருக்கிறது. இந்த ஒன்றிணைப்பு மிகச் சிறிய அணுத்துகள் உலகம் தொடங்கி மாபெரும் அண்ட உலகை ஒற்றைத் தொகுதி சமன்பாடுகளால் வரையறுக்கும் பிரம்மாண்டக் கனவு. மெல்லியக்க, வல்லியக்க விசைகளின் அடிப்படியாக என்ன சமச்சீர்மை இருக்கின்றது என்பது இன்னும் பிடிபடாத விடயமாகவே இருக்கிறது. சோதனை முறையில் புரோட்டான் என்னென்ன துகள்களாகச் சிதைகின்றது (Proton decay) என்பது இன்னும் கண்டறியப்படாமலேயே இருக்கிறது. அது அளந்து அறியப்பட்டால், அந்தத் துகள்களுக்கு இடையேயான சீர்மையை அடையாளம் காணமுடியும், தொடர்ந்து நூர்த்தெர் கோட்பாட்டின்படி அந்தச் சீர்மை வகுக்கும் அவற்றுக்கான அழிவின்மை விதிகளும் புலப்படும். இன்றுவரை சாதிக்கப்படாத இந்த இலக்கு நோக்கி நம்மை வழிநடத்துவது ஒரு நூற்றாண்டுக்கு முன் எம்மி நூர்த்தெர் வரையறுத்த கணித விதிகளே! ஆற்றல், உந்தம் இவற்றின் அழிவின்மை என்று நாம் சாதாரணமாக அறிந்திருந்தவற்றின் சமச்சீர்மைக்கான தொடர்பை நமக்குச் சொன்னவர் எம்மி நூர்த்தெர்.

முதலாம் உலகப்போர் முடிவுக்கு வந்த பொழுது ஐரோப்பிய சமூகங்களில் பெரும் மாற்றங்கள் ஏற்பட்டன. 1919-ஆம் ஆண்டு ஒருவழியாக எம்மி முழுநேர பேராசிரியர் தகுதிக்குத் தயாராக கோட்டிங்கங்கன் பல்கலைக்கழகம் அனுமத்திதது. தகுந்த தேர்வுகளுக்குப் பிறகு Habilitation தகுதி அவருக்கு அளிக்கப்பட்டது; அதன் மூலம் நிரந்தரப் பேராசிரியர் நியமனம் ஆகமுடியும். ஆனால் அவர் பேராசிரியையாக அல்லாது privatdozent-ஆகத் தான் சேர்த்துக் கொள்ளப்பட்டார். அந்த ஆண்டு இலையுதிர்காலப் பருவத்தில் முதல் முறையாக அவருடைய பெயரிலேயே அவர் பல்கலைக்கழகத்தில் பாடம் பயிற்றுவித்தார். ஆனாலும், அவருக்கு ஊதியம் ஏதும் வழங்கப்படவில்லை. அசாத்திய திறமை கொண்ட எம்மியின் பாட போதனைகளால் மாணவர்கள் பெரிதும் பயனடைந்தார்கள். கற்றுத்தருவதில் இருந்த பேரானந்தத்தால் எம்மி அவர்களைத் தன் வீட்டுக்கு அழைத்து சொல்லிக் கொடுத்தார். போதுமான உடைகள் கூட வாங்கக் காசில்லாதபோதும் வீடு தேடி வந்த மாணவர்களுக்கு உணவளித்துக் கணிதம் சொல்லிக்கொடுத்தார். வீடு ‘எம்மியின் பையன்களால்’ (Emmy’s Boys) நிறைந்தது. அவருடைய பெயரிலான தேற்றம் செவ்வியல் மற்றும் குவாண்டம் இயற்பியல் துறைகளில் பெரும் புரிதல்களை உருவாக்கியது, இயற்பியலாளர்களிடையே அவருக்கான அங்கீகாரமும் கிடைத்தது. மறுபுறத்தில் நுண் இயற்கணிதம் (abstract algebra) என்ற துறையில் அவர் பெரும் பாய்ச்சல்களை நிகழ்த்தினார். தன் மாணவர் வெர்னர் ஷ்மைட்லெர் (Werner Schmeidler) என்பவருடன் இணைந்து கணிதப் புலங்கள் குறித்த உன்னதங்கள் கோட்பாட்டை (Idealtheorie in Ringbereichen) உருவாக்கினார். லஸ்கர்-நூர்த்தெர் கோட்பாடு என்ற இன்னொரு பிரபலமான கண்டுபிடிப்பும் தொடர்ந்து அவரால் வெளியிடப்பட்டது. பின்னாட்களில் இவற்றைத் தொகுத்த நேத்தன் ஜேக்கப்பஸன் (Nathan Jacobson) என்ற அமெரிக்க கணிதர் “இருபதாம் நூற்றாண்டு கணித வரலாற்றின் இணையற்ற கண்டுபிடிப்புகளுள் ஒன்றான நுண் இயற்கணிதம் எம்மி நூர்த்தெரின் ஆய்வுக்கட்டுரைகள், பாடங்கள், பேருரைகள், அவர் மாணவர்களுக்கு அளித்த போதனைகள் வாயிலாக மாத்திரமே சாத்தியமானது” என்று சொன்னார்.

தனக்கு உரிமைகளும் வாய்ப்புகளும் மறுக்கப்பட்டதைப் பற்றிச் சிறிதும் கவலைப்படாத எம்மிக்கு சமூகத்தில் சம உரிமை குறித்த விசனம் இருந்தது. 1919-1922 ஆண்டுகளில் எம்மி நூர்த்தர் ஜெர்மனியின் சுதந்திர சமூக மக்களுரிமைக் கட்சியின் உறுப்பினராக இருந்தார், அது இடதுசாரி சார்புள்ள கட்சி, சில ஆண்டுகளே நிலைத்திருந்தது. கோட்டிங்கனில் அவருடைய சக பேராசிரியராக இருந்த கணித மாமேதை ஹெர்மான் வெய்ல் தன் நாட்குறிப்பில் எம்மியின் இடதுசாரி சாய்வுகளைப் பற்றிக் குறிப்பிட்டிருக்கிறார். 1928-30-ஆம் ஆண்டுகளில் மாஸ்கோ அரசுப் பல்கலைக்கழகத்தில் வருகைதரு பேராசிரியாகப் பணியாற்றினார். அங்கே அவருக்குப் பெரும் மதிப்பும் மரியாதையும் அளிக்கப்பட்டன. ஜெர்மனியில் யூதர், பெண் போன்ற வகைப்பாடுகளால் பல வாய்ப்புகளை இழந்த எம்மிக்கு சோவியத்தில் போல்ஷெவிக் திட்டத்தின் மூலம் சாத்தியமான சமதர்மங்களின் மீது பெரும் ஆர்வம் ஏற்பட்டது. பின்னர் ஜெர்மனி திரும்பிய அவருக்கு இந்த சோவியத் தொடர்புகள் பெரும் சோதனைகளை உருவாக்கின. அவர் தங்கயிருந்த விடுதியிலிருந்து அவரை ஜெர்மானிய போலிஸார் வெளியேற்றினர். அவருக்கு “மார்க்ஸீயச் சாய்வுள்ள யூதப் பெண்” என்ற முத்திரை குத்தப்பட்டது.

1933-ல் அடால்ஃப் ஹிட்லர் ஜெர்மனியின் வேந்தரானார். நாடெங்கும் நாட்ஸி நடவடிக்கைகள் பெருகின. கோட்டிங்கன் பல்கலைக்கழகத்தில் யூதப் பேராசிரியர்களை ஒழிப்பதற்கான முயற்சி துவங்கியது. இதை முன்னின்று நடத்தியவர்களில் ஒருவர் ‘எம்மியின் பையன்கள்’ என்று அறியப்பட்ட குழுவில் இருந்த வெர்னர் வீபர் (Werner Weber) என்ற முன்னாள் மாணவர். தன் எல்லா மாணவர்களைப் போலவே வெர்னர் மீதும் எம்மி பேரன்பு செலுத்தியவர். பெண், யுதர், இடதுசாரி சார்புள்ளவர் என்று சகல தகுதிகளும் கொண்ட எம்மி நூர்த்தெர் முதல்கட்டமாக வெளியேற்றப்பட வேண்டிய பேராசிரியர்களின் பட்டியலில் இடம்பெற்றார். இவருடன் கூட மாபெரும் இயற்பியல் மேதை மேக்ஸ் பாண் (Max Bonn) என்பவரும் அந்தப் பட்டியலில் இருந்தார். தன் மீது விதிக்கப்பட்ட தீர்ப்பை எம்மி அமைதியாக ஏற்றார். எம்மியின் மாணவர் ஒருவர் நாட்ஸிப் பேரணியில் சீருடை அணிந்து செல்வதைப் பார்த்தபொழுதும் எம்மி சலனப்படவில்லை, மாறாக அந்த இளைஞனின் முதிர்வின்மையைச் சொல்லிச் சிரித்தார். ஹெர்மான் வெய்ல் “எம்மி நூர்த்தெர் – அவருடைய தைரியம், நேர்மை, தன் விதியைப் பற்றிக் கொஞ்சமும் கலவரப்படாத அமைதி, அனைவருடனும் ஒத்துப்போகும் பாங்கு – இவையெல்லாம் அப்பொழுது எங்கள் மீது கவிழ்ந்திருந்த சிறுமை, விரக்தி, துயரம் இவற்றுக்கான ஆறுதலாக இருந்தது” என்று சொன்னார். வேலை போனாலும், எம்மி தன்னுடைய வீட்டில் பையன்களுக்குத் தொடர்ந்து கணிதம் சொல்லிக்கொடுத்து வந்தார். தன் கையில் பணமில்லாதபொழுதும் வரும் மாணவர்களுக்கு இரவுணவும் கொடுப்பது எம்மியால் ஒருபோதும் நிறுத்தப்படவில்லை. ஒருநாள் மாலை அப்படிப் பாடம் பெற பையன்கள் வந்து அமர்ந்த பொழுது உயரமான காக்கி சட்டை அணிந்த ஒரு நாட்ஸியும் உள்ளே வந்தான். தானும் கணிதப்பாடம் கற்றுக்கொள்ள வந்திருப்பதாகச் சொன்னான். அவனை அங்கு அனுப்பியது எம்மியின் முன்னாள் மாணவர் வெர்னர் வீபர். அந்த நாட்ஸி இளைஞனின் இருப்பு மாணவர்களுக்கும் எம்மிக்கும் பெரும் சங்கடத்தை அளித்தது. அது சர்வநிச்சயமான உண்மையை எம்மி நூர்த்தெருக்குப் பொட்டில் அறைந்தால் போலச் சொல்லியது; இனி எம்மி ஜெர்மனியில் இருக்க இடமில்லை.

ஆல்பர்ட் ஐன்ஸ்டைனும் ஹெர்மான் வெய்ல்-ம் அமெரிக்காவின் பிரின்ஸ்டைன் பல்கலைக் கழகத்தின் (Princeton University) உயர் ஆய்வுக் கழகத்தில் வேலைக்குச் சேர்ந்தார்கள். ஒருகாலத்தில் உலகக் கணித-இயற்பியலின் மையமாக விளங்கிய கோட்டிங்கன் பல்கலைக்கழகம் கொஞ்சம் கொஞ்சமாகச் சிதைந்து பிரின்ஸ்டனில் மறு திரட்சி பெறத் தொடங்கியது. தன் பொதுமைச் சார்நிலைக் கோட்பாட்டின் சிக்கல்களை சமச்சீர்மைக்கும் அழிவின்மைக் கோட்பாடுகளுக்கும் இடையேயான தொடர்புகள் மூலமாக விடுவித்த எம்மி நூர்தெருக்கும் பிரின்ஸ்டனில் வேலைதர ஐன்ஸ்டைன் பரிந்துரைத்தார். ஆனாலும், எம்மி நூர்த்தெருக்கு அங்கே பணி சாத்தியப்படவில்லை (என்ன இருந்தாலும் பெண்தானே). தொடர்ந்து பென்சில்வேனியா மாநிலத்தின் ப்ரைன் மாவ்ர் கல்லூரியில் (Bryn Mawr College) வேலைக்குச் சேர்ந்தார். அங்கே அவருக்குப் பெரும் மதிப்பு கிடைத்தது. அவரிடம் கல்வி கற்கப் பெருமளவு மாணவிகளும் வந்தனர். இங்கே ‘எம்மியின் பெண்கள்’ (Emmy’s Girls) குழு உருவானது. பெண்களுக்குக் கல்வி இயல்பில் கிடைப்பதில் மகிழ்ந்த எம்மி, அவர்களுக்கு தன் முழு சக்தியையும் திரட்டி ஆர்வத்துடன் போதித்தார். நேரடியாகச் சேர்த்துக் கொள்ளப்படாவிட்டாலும் பிரின்ஸ்டன் பல்கலைக்கழகத்திலும் அவருக்கு மதிப்பிருந்தது. பல முன்னணி கணிதர்கள் அவருடன் இணைந்து ஆய்வில் ஈடுபட்டார்கள். அங்கே அவர் விசேடப் பேருரைகளையும் ஆற்றினார். ஆனாலும், “பிரின்ஸ்டன் எப்பொழுதும் ஆண்களின் இராச்சியம்தான்” என்று எம்மி சொன்னார். 1934-ஆம் ஆண்டு ஒரு சிறிய இடைவெளியில் ஜெர்மனி சென்று தன் சகோதரர் ஃப்ரிட்ஸ் நூர்த்தெரைப் பார்த்துவிட்டு வந்தார். முன்னணி கணிதரான ஃப்ரிட்ஸ்-ம் பின்னர் நாட்ஸிகாளால் துரத்தப்பட்டு சோவியத் ஒன்றியத்திற்கு இடம்பெயர்ந்தார்.

1935-ல் எம்மியைப் பரிசோதித்த மருத்துவர்கள் அவருடைய இடுப்பு வளையப் பகுதியில் கட்டி இருப்பதாகச் சொன்னார்கள். தொடர்ந்து அறுவை செய்தபொழுது கிட்டத்தட்ட ஒரு சிறிய தேங்காய் அளவு கட்டி இருப்பது தெரியவந்தது. கூடவே இன்னும் இரண்டு சிறிய கட்டிகளும் இருந்தன. இவை புற்றுக் கட்டிகளா என்று தெரியாது. அதன் பிறகு நான்கே நாட்களில் அதிக ஜுரம் கண்டு எம்மி 14 ஏப்ரில் அன்று மரித்தார்; அப்பொழுது அவருக்கு ஐம்பத்து மூன்று வயது. ப்ரைன் மாவ்ர் கல்லூரியில் அவருக்கு ஒரு சிறிய, நெகிழ்வான இறுதி மரியாதைக் கூட்டம் நடந்தது. பிரின்ஸ்டன் பல்கலைக்கழகத்திலிருந்து ஹெர்மான் வெய்ல் வந்து அதில் புகழுரை வழங்கினார். மிகவும் நெகிழ்வான அந்த உரையில் வெய்ல்,

“…உங்கள் மேதைமை உங்கள் பாலினத்தின் மீது விதிக்கப்பட்ட கட்டுப்பாடுகளைக் கடந்தது. கோட்டிங்கனில் நாங்கள் உங்களை நகைச்சுவையாக, ஆனால் மரியாதையுடன், “டென் நூர்தெர்” என்று ஆண்மை தொனிக்க விளிப்போம். ஆனால் நீங்கள் தாய்க்குணமும் சிறு குழந்தையின் இதயமும் கொண்ட பெண். நீங்கள் உங்கள் மாணவர்களுக்கு அறிவை மாத்திரம் போதிக்கவில்லை; முழுமையாக, எந்தத் தடையும் இல்லாத அந்நியோன்னியமான குடும்பமாக அவர்களுடன் வாழ்ந்தீர்கள். ஒரு தாய்க்கோழியின் இறகின் கீழ் பதுங்கும் குஞ்சுகளென அவர்கள் உங்களைச் சுற்றி கூடினர்; நீங்கள் அவர்களை நேசித்தீர்கள், அவர்களைப் பராமரித்தீர்கள்.

உங்கள் படைப்பு வாழ்க்கையின் உச்சத்தில் நீங்கள் எங்களிடமிருந்து பிரிக்கப்பட்டீர்கள். உங்கள் எதிர்பாரா பிரிவு, ஒரு இடி முழக்கத்தின் எதிரொலி போல இன்னும் எங்கள் முகங்களில் அறைந்து கொண்டிருக்கிறது. ஆனால் அறிவியல் சமூகத்திலும், உங்கள் மாணவர்கள், நண்பர்கள் மற்றும் சக ஊழியர்கள் மத்தியிலும் உங்கள் பங்களிப்பும் நல்ல உள்ளமும் உங்கள் நினைவை நீண்ட காலம் உயிர்ப்புடன் வைத்திருக்கும், மாபெரும் கணிதரே, மாபெரும் பெண்மணியே – போய் வாருங்கள், எம்மி நூர்த்தெர்!”

என்று சொன்னார். தொடர்ந்து உலகெங்குமிருந்து எம்மி நூர்த்தெருக்குப் புகழுரைகள் வந்தன. ஐன்ஸ்டைன் நியூயார்க் டைம்ஸ் பத்திரிக்கையில் நூர்த்தெருக்கு ஒரு அற்புதமான இரங்கல் உரையை எழுதினார்.

உலகெங்கும் பெண்களுக்கு மறுக்கப்பட்ட அறிவியல் அறிவைத் தேடிச்சென்றவர் எம்மி நூர்த்தெர். பதின்ம வயதில் சமைப்பதும் பியானோ வாசிப்பதுமே பெண்ணுக்கான வேலைகள் என்ற வரையறையை மீறி கணிதப் புதிர்களை விடுவித்தலில் ஆர்வம் கொண்டார். பல்கலைக்கழகத்தில் படிக்கும் உரிமை இல்லாதபொழுதும், ‘சும்மா கவனிப்பதாக’ வகுப்பறையில் உட்கார்ந்திருந்து கணிதப் பாடங்களைக் கற்றார். பின்னர், எர்லாங்கன் பல்கலைக்கழகத்தின் முதல் மாணவியாக கணிதப் பட்டம் பெற்றார். கணித ஆய்வுகளுக்காக முனைவர் பட்டம் பெற்ற முதல் மாணவியானார். தொடர்ந்து ஒரு பெண் பேராசிரியர் ஆவது சாத்தியமில்லை என்று மறுக்கப்பட்ட பொழுது சம்பளமில்லாமல் பாடங்களைச் சொல்லித் தந்தார். அவருடைய கண்டுபிடிப்புகள் பிற ஆண்களால் அவர் பெயரில்லாமலேயே வெளியிடப்பட்டு அவற்றுக்கான அங்கீகாரம் மறுக்கப்பட்ட பொழுதும் அறிவியலில் இருந்த முழு ஆர்வத்தால் தொடர்ந்தும் அதில் ஈடுபட்டிருந்தார். பெண்களுக்கான உரிமைகள் மறுக்கப்படுவதைப் பற்றி எம்மி நூர்த்தெர் கொஞ்சமும் கவலைப்பட்டதாகத் தெரியவில்லை. கலைந்த தலைமயிரும் கசங்கிய ஆடையும், கபடமில்லாத வெடிச்சிரிப்புமே அவருடைய அடையாளங்களாக இருந்தன. உலகத்தின் முன்னணி கணிதவியலாளர்களுக்கு இணையான அறிவிருந்தும், அவருக்குச் சாதாரண சம்பளம் கூட மறுக்கப்பட்டது; அதைப் பற்றி அவர் கவலை கொள்ளவேயில்லை. அவருக்கான லௌகீகத் தேவைகள் மிகக் குறைவாகவே இருந்தன. அவர் திருமணம் செய்துகொள்ளவில்லை, ஆண் துணையைத் தேடும் முயற்சியில் பெரிதும் ஈடுபடவில்லை. பெண் என்ற வகையில் அவருக்கான வாய்ப்புகள் தொடர்ந்து மறுக்கப்பட்டன. பின்னர் யூதர் என்ற வகையில் அவர் நாட்டைவிட்டுத் துறத்தப்பட்டார். அமெரிக்காவில் வாழ்வு அமைதிக்குத் திரும்பிய ஓரிரு வருடங்களிலேயே மரித்துப் போனார். ஆனால் ஒரு நூற்றாண்டுக்கும் மேலாக அவரது உன்னத கணித, இயற்பியல் கண்டுபிடிப்புகள் நம்மை வழிநடத்தி வருகின்றன. இன்றும் அவை தொடர்பான ஆய்வுகள் மேற்கொள்ளப்பட்டு வருகின்றன.

இயற்பியலின் ஆழத்தில் கிடந்த சமச்சீர்மை – அழிவின்மை தொடர்பையும் அதன் உன்னத கவித்துவத்தையும் நமக்கு அடையாளம் காட்டியவர் எம்மி அமெலி நூர்த்தெர்.

மேலதிக வாசிப்புக்கு:#

1. Einstein’s Tutor, The Story of Emmy Noether and the Invention of Modern Physics, Lee Phillips, PublicAffairs Publishers, 2024.
2. The Hidden Law, Dave Goldberg, New Scientist, Vol. 226, page 3018, 2015.
3. Emmy Noether and Hermann Weyl, Peter Roquette, talk presented at the Hermann Weyl conference in Bielefeld, September 10, 2006.
4. Albert Einstein. Letter to the editors, New York Times, May 5, 1935.
5. Emmy Noether, C. Kimberling, American Mathematical Monthly, Vol. 79, (1972)
6. Why Were So Few Mathematicians Female? Loretta Kelley, The Mathematics Teacher, Vol. 89, page 592, 1996.